EL TEOREMA DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW: LAS CONDUCTAS MULTIMODALES Y EL MANEJO DE LA AGENDA EN LOS PROCESOS ELECTORALES

En teoría de la decisión, el “teorema de imposibilidad de ARROW” o de “intransitividad de las preferencias sociales” establece que cuando los votantes tienen tres o más alternativas, no es posible diseñar un sistema de votación que permita reflejar las preferencias de los individuos en una preferencia global de la comunidad, de modo que al mismo tiempo se cumplan ciertos criterios de racionalidad. Este teorema fue dado a conocer y demostrado por primera vez por el Premio Nobel de Economía (1972) Kenneth ARROW en su tesis doctoral “Social choice and individual values”, y popularizado en su libro del mismo nombre editado en 1951. El artículo original, “A Difficulty in the Concept of Social Welfare”, fue publicado en The Journal of Political Economy, en agosto de 1950.

El teorema de imposibilidad de ARROW parte de establecer que una sociedad necesita acordar un orden de preferencia entre diferentes opciones o situaciones sociales. Cada individuo en la sociedad tiene su propio orden de preferencia personal y el problema es encontrar un mecanismo general (una “regla de elección social”) que transforme el conjunto de los órdenes de preferencia individuales en un orden de preferencia para toda la sociedad, el cual debe satisfacer varias propiedades deseables:

·         Dominio no restringido o universalidad: la “regla de elección social” debería crear un orden completo por cada posible conjunto de órdenes de preferencia individuales (el resultado del voto debería poder ordenar entre sí todas las preferencias y el mecanismo de votación debería poder procesar todos los conjuntos posibles de preferencias de los votantes).

·         No imposición o criterio de PARETO débil: si A resulta socialmente preferido a B, debe existir al menos un individuo para el cual A sea preferido a B. Esto implica que la regla no va contra el criterio de unanimidad.

·         Ausencia de “dictadura”: la “regla de elección social” no debería limitarse a seguir el orden de preferencia de un único individuo ignorando a los demás.

·         Asociación positiva de los valores individuales y sociales o “monotonía”: si un individuo modifica su orden de preferencia al promover una cierta opción, el orden de preferencia de la sociedad debe responder promoviendo esa misma opción o, a lo sumo, sin cambiarla, pero nunca degradándola.

·         Independencia de las alternativas irrelevantes: si restringimos nuestra atención a un subconjunto de opciones y les aplicamos la “regla de elección social” a ellas solas, entonces el resultado debiera ser compatible con el correspondiente para el conjunto de opciones completo. Los cambios en la forma que un individuo ordene las alternativas “irrelevantes” (es decir, las que no pertenecen al subconjunto) no debieran tener impacto en el ordenamiento que haga la sociedad del subconjunto “relevante”.

El teorema de ARROW dice que si el cuerpo que toma las decisiones tiene al menos dos integrantes y al menos tres opciones entre las que debe decidir, entonces es imposible diseñar una regla de elección social que satisfaga simultáneamente todas estas condiciones. Formalmente, el conjunto de reglas de decisión que satisfacen los criterios requeridos resulta vacío.

En este contexto, las investigaciones más recientes señalan la importancia que tiene el manejo de la agenda pública en las decisiones colectivas. Si alguno de los votantes o más bien una agrupación de ellos tiene la posibilidad de decidir el orden de planteamiento de las elecciones en torno a diversas alternativas, puede estar en condiciones de determinar la suerte de las mismas, es decir, podría conducir todo el proceso de elección hacia el resultado deseado por él.Los estudiosos de este dilema clásico sabrán que suele apuntarse como precedente histórico a la conocida como “paradoja de CONDORCET”. En lo que ahora nos interesa, podemos resumir este otro resultado en los siguientes términos: “los votantes que son capaces de reducir el conjunto de alternativas disponibles se encuentran, de hecho, en condiciones de determinar el resultado de la elección”. CONDORCET fue un conspicuo girondino (de centro-derecha, diríamos hoy), ardoroso revolucionario y firme partidario de la República, de una reconstrucción racionalista de la sociedad, votando en contra de la ejecución del rey LUIS XVI por ser contrario a la pena de muerte. Se cumplió el triste adagio de que “la Revolución devora a sus propios hijos” y, al haberse opuesto a los proyectos constitucionales jacobinos, fue condenado por traición. Habiendo conseguido los jacobinos el control de la Asamblea, con fecha 3 de octubre de 1793 se dictó una orden de arresto y CONDORCET, tras ocultarse por espacio de varios meses en casa de una benefactora, donde escribió su Esbozo para un cuadro histórico de los progresos del espíritu humano, abandonó su refugio tratando de huir de París, siendo finalmente arrestado el 27 de marzo de 1794. Fue hallado muerto en su celda dos días más tarde, víctima de un edema popular.

Tratemos de explicar el fenómeno al que nos estamos refiriendo a través de un ejemplo sencillo. Supongamos que el cuerpo electoral está compuesto por tres votantes, o mejor por tres tipos de votantes: X, Y, Z. Estos votantes deben optar por una de las tres posibles alternativas: A, B y C. Imaginemos ahora que los votantes tienen un orden de preferencias entre las alternativas disponibles: Votantes X: 1º A, 2º B y 3º C; Votantes Y: 1º B, 2º C y 3º A; Votantes Z: 1º C, 2º B y 3º A. Partiendo de estas premisas podemos configurar la siguiente matriz de resultados:

Si el procedimiento de votación adoptado en las elecciones es por pares de alternativas, comparando por pares y utilizando el signo > la alternativa ganadora, se obtiene:

-         (A; B): B > A (B gana por 2 a 1, por contar con el voto preferido de dos grupos de votantes, Y y Z).

-         (B; C): B > C (B gana por 2 a 1, por contar con el voto preferido de dos grupos de votantes, X e Y).

-         (A; C): C > A (C gana por 2 a 1, por contar con el voto preferido de dos grupos de votantes, Y y Z).

El orden de preferencias resultantes es, pues:

B > A > C

debiendo verificarse el cumplimiento del principio de transitividad, por el cual si B es preferido a C y C es preferido a A, lo que hemos visto que también se cumple.

Supongamos ahora que los votantes de tipo C se deslizan más o menos insensiblemente hacia posturas “extremistas”. Es lo que se conoce como conducta “multimodal”. La moda, en estadística, viene dada por el valor máximo en la distribución de frecuencias. Una conducta multimodal implica la existencia de varios valores máximos en la distribución de frecuencias. La matriz de resultados sería ahora la siguiente:

Comparando entre alternativas, se obtiene los siguientes resultados:

-         (A; B): A > B (A gana por 2 a 1, por contar con el voto preferido de dos grupos de votantes, X y Z).

-         (B; C): B > C (B gana por 2 a 1, por contar con el voto preferido de dos grupos de votantes, X e Y).

-         (C; A): C > A (C gana por 2 a 1, por contar con el voto preferido de dos grupos de votantes, Y y Z).

Es entonces cuando se plantea el dilema:

1)     Si comparamos primero (A; B), gana A; luego comparando (B; C) gana C; por carácter transitivo debería cumplirse que A > C, y sin embargo en la tabla de resultados se observa que C > A.

2)     Si, en cambio, iniciamos el proceso con la comparación (B; C), gana B; luego comparando (C; A) gana C; por carácter transitivo debería cumplirse que B > A, y sin embargo en la tabla de resultados se observa que A > B.

3)     Finalmente, si comparamos en primer lugar (A; C), gana C; luego comparando (B; C), gana B; por carácter transitivo debería cumplirse que B > A, y sin embargo en la tabla de resultados se observa que A > B.

En función, pues, de la alternativa por la que se comienza el cómputo de votos, se llegará a un resultado diferente. Estamos ante un problema de “circularidad” del resultado o incluso de un eventual resultado aleatorio, que no permite identificar las preferencias reveladas del cuerpo electoral a partir de la agregación de las preferencias de los diversos grupos de votantes.

Amigo lector: piensa en lo que sucedió en los anteriores comicios, allá por el año 2015. En las investiduras fallidas a nivel nacional, y en las sucesivas maniobras del Doctor Sánchez que culminaron con su investidura, aupado por aquellos con los que había asegurado que jamás cerraría un trato, cuando fue defenestrado de su propio partido y tenía que buscar la manera de volver a darle la vuelta a la tortilla. Piensa en las maniobras análogas que presenciamos para la formación de gobiernos autonómicos y de consistorios. No te costará recordar lo que sucedía hace pocos días, cuando al presentar las candidaturas al tiempo que se entronizaba a José María Marco como cabeza de lista para el Senado por VOX se descabalgaba a Fernando de Paz como candidato al Congreso por Albacete. ¿Te das cuenta ahora de que lo realmente decisivo es el control de la agenda?

¿Por qué te cuento estas cosas? No es por cinismo, ni siquiera es por despacharme a gusto con los políticos. Créeme, en el fondo es un gesto de amistad y, sobre todo, de saber reconocer y valorar la buena fe de mucha gente. Dentro de poco, habrá elecciones, varios procesos en ciernes nos acechan. Puedes ir a votar por quien consideres oportuno en conciencia, o puedes abstenerte, por motivos de conciencia igualmente respetables. Sólo te digo que no te agobies, que no sufras y que no albergues vanas esperanzas. Con tu voto y con el de muchos otros, unos cuantos desaprensivos harán… maravillas. Así que el resultado de las próximas elecciones, sin dejar de ser importante, no es decisivo de cara a lo que de verdad importa. Los graves problemas que amenazan a España no se van a solucionar en función del resultado de las elecciones; y lo mismo se puede decir del ayuntamiento de la ciudad en la que vives o de la comunidad autónoma a la que pertenece. Eso no quiere decir que no puedas hacer mucho por tu país, por tu tierra, por la comunidad en la que estás enraizado vitalmente. Puedes y debes trabajar de firme por el bien común, pero trabajar de verdad, no tratando de salir del paso con el burdo expediente de cruzar tu apuesta en las próximas elecciones.

JAVIER ALONSO DIÉGUEZ